数学分析反例合集

微积分，作为数学分析的基石，是牛顿用直觉发明出来的。但是数学分析这门学科，却有着许多反直觉的地方。此处罗列的本人学数学分析时见到的若干反例。

持续更新中。。。

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. 在 $\mathbb R$ 上处处不连续。

  $f(x)= \begin{cases} 1 & x\in \mathbb Q \\ 0 & x\in \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{cases}$

  上述函数即是的 Dirichlet（狄利克雷）函数，通常记作 $D(x)$。

• 存在这样的函数 $f(x)$ 及其定义域内的一点 $x_0$，满足以下条件：

  1. $f(x)$ 只在 $x=x_0$ 处连续。

  $f(x)=xD(x)\\ x_0=0$

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. 在定义域上一致连续；
  2. 但不满足 Lipschitz 条件，即不存在常数 $0<k<1$，使得对任意在定义域中的 $x,y$，均有 $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$。

  $f(x)=\sqrt{x}$

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. 在 $\mathbb R$ 上连续；
  2. 对任意在定义域中的 $x,y$，均有 $|f(x)-f(y)|<|x-y|$；
  3. 但方程 $f(x)=x$ 无实数解。

  $f(x)=\ln(\operatorname{e}^x+1)$

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. 在 $\mathbb R$ 上连续且有界；
  2. 但不一致连续。

  $f(x)=\sin x^2$

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. 在 $[0,+\infty)$ 上连续；
  2. 对任意的 $x\in[0,1)$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}{f(x+n)}=0$；
  3. 但是 $\lim\limits_{x\to+\infty}{f(x)}\ne0$。

  $f(x)= \begin{cases} 2\lceil x\rceil(\lceil x\rceil +1)\left(x-\lfloor x\rfloor -\dfrac 1{\lceil x\rceil+1}\right) & \lfloor x\rfloor+\dfrac 1{\lceil x\rceil+1}\le x\le \lfloor x\rfloor + \dfrac{2\lceil x\rceil+1}{2\lceil x\rceil(\lceil x\rceil +1)} \\ -2\lceil x\rceil(\lceil x\rceil +1)\left(x-\lfloor x\rfloor -\dfrac 1{\lceil x\rceil}\right) & \lfloor x\rfloor+\dfrac{2\lceil x\rceil+1}{2\lceil x\rceil(\lceil x\rceil +1)}<x\le \lfloor x\rfloor + \dfrac 1{\lceil x\rceil} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. 在 $(0,+\infty)$ 上连续；
  2. 对于任意 $x>0$，都有 $f(x)=f(2x)$；
  3. 但是在 $0$ 处的极限不存在。

  $f(x)=\sin(2\pi\log_2{x})$

  • 类似地可以构造将 $f(x)=f(2x)$ 条件改成 $f(x)=f(x^2)$ 的函数：

    $f(x)=\sin(2\pi\log_2{|\ln x|})$

• 存在这样的函数 $f(x)$ 与其定义域内一点 $x_0$，满足以下条件：

  1. $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上可导；
  2. 但在 $x=x_0$ 处导函数不连续。

  $f(x)= \begin{cases} x^2\sin{\dfrac 1x} & x\ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} \\ x_0=0$

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. 在 $\mathbb R$ 上处处连续；
  2. 但在 $\mathbb R$ 上处处不可导。

  $f(x)=\sum_{n=0}^\infty{a^n\cos(b^n\pi x)} \\ \text{其中 }a<1,b=2k+1\,(k\in \mathbb Z)\text{ 且 }ab>1+\frac{3\pi}2$

  上述函数即是著名的 Weierstras（魏尔斯特拉斯）级数，通常记作 $W(x)$。

• 存在这样的函数 $f(x)$ 与其定义域内一点 $x_0$，满足以下条件：

  1. 在 $\mathbb R$ 上处处连续；
  2. 但只在 $x=x_0$ 处可导。

  $f(x)=xW(x) \\ x_0=0\\$

• 存在这样的函数 $f(x)$ 与其定义域内一点 $x_0$，满足以下条件：

  1. $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的极值点；
  2. $f(x)$ 在 $x_0$ 附近可导，即存在一个 $t>0$，使得 $f(x)$ 在 $(x-t,x+t)$ 上可导；
  3. 但不存在任何一个 $x_0$ 的邻域，左右单调性相反，即不存在 $0<\delta<t$，使得 $(x_0-\delta,x_0)$ 与 $(x_0,x_0+\delta)$ 单调性相反。

  $f(x)= \begin{cases} x^2\sin{\dfrac 1x}+x^2 & x\ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} \\ x_0=0$

• 中值定理逆命题不成立：设 $\xi\in (a,b)$ 是指定的一点，不一定存在 $c,d\in[a,b]$，使得 $f(c)-f(d)=(c-d)f'(\xi)$ 成立：

  $f(x)=x^3\\ \xi=0$

• 存在这样的函数 $f(x)$ 与其定义域内一点 $x_0$，满足以下条件：

  1. $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导；
  2. 但不存在 $x_0$ 的一个领域，$f(x)$ 在领域上连续，即不存在 $\delta>0$，使得 $f(x)$ 在 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 上连续。

  $f(x)=x^2D(x) \\ x_0=0$

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的任一点无穷阶可导；
  2. 但 $f(x)$ 处处不解析，即在任意一点的泰勒展开式余项不收敛。

  $f(x)=\sum_{n=1}^\infty {2^{-2^n}\exp\left(\dfrac{-1}{\sin^2(2^nx)} \right)}$

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足以下条件：

  1. $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上连续，且为周期函数；
  2. 但 $f(x)$ 的任意一个原函数都不是周期函数。

  $f(x)=|\sin x|$

• 存在这样的两个函数 $f(x),g(x)$ 与一个实数 $l$，满足以下条件：

  1. $f(x),g(x)$ 均在 $\mathbb R$ 上可导；
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{g(x)}=\infty$；
  3. $\lim\limits_{x\to +\infty}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}=l$；
  4. 但 $\lim\limits_{x\to +\infty}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}$ 不存在。

  $f(x)=x+\sin x\cos x\\ g(x)=\operatorname{e}^{\sin x}(x+\sin x\cos x)\\ l=0$

• 存在这样的集合 $S$，满足以下条件：

  1. $S$ 连通；
  2. 但 $S$ 不道路连通。

  $S=\{(x,\sin \frac 1x) \mid x\ne 0 \} \cup \{(0,y) \} \subset \mathbb R^2$

• 存在这样的集合 $S\subset \mathbb R^2$，满足以下条件：

  1. $S$ 为闭集；
  2. 但是对于映射 $f(x,y)=x$（即往 $x$ 轴的投影映射），$f(S)$（即函数 $f$ 在 $S$ 上的值域）不是闭集。

  $S=\{(x,y)\mid y=\tan x\,(-\pi/2< x<\pi/2) \}$

• 存在这样的集合 $S\subset \mathbb R^2$，满足以下条件：

  1. $S$ 为道路连通的闭集；
  2. 但是 $S$ 不是闭区域。

  $S=\{(x,y)\mid (x-1)^2+y^2\le 1\}\cup \{(x,y)\mid (x+1)^2+y^2\le 1\}$

• 存在这样的二元函数 $f(x,y)$ 及其定义域内的一点 $(x_0,y_0)$，满足以下条件：

  1. 对于任何 $y_0$，只要固定 $y=y_0$，则 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是连续的；
  2. 对于任何 $x_0$，只要固定 $x=x_0$，则 $f(x,y)$ 关于 $y$ 是连续的；
  3. 但是 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处不连续。

  $f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2xy}{x^2+y^2} & x^2+y^2>0\\ 0 & x^2+y^2=0 \end{cases}\\ (x_0,y_0)=(0,0)$

• 存在这样的二元函数 $f(x,y)$ 及其定义域内的一点 $(x_0,y_0)$，满足以下条件：

  1. 在 $(x_0,y_0)$ 这一点连续；
  2. 且在这一点 $x,y$ 方向的偏导数均存在；
  3. 但是在这一点不可微。

  $f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2} & x^2+y^2\ne 0\\ 0 & x^2+y^2=0 \end{cases}\\ (x_0,y_0)=(0,0)$

• 存在这样的二元函数 $f(x,y)$ 及其定义域内的一点 $(x_0,y_0)$，满足以下条件：

  1. 在 $(x_0,y_0)$ 这一点连续；
  2. 且在这一点 $x,y$ 方向的偏导数均存在；
  3. 但是在这一点两个方向的偏导数均不连续；
  4. 可却在这一点可微。

  $f(x,y)= \begin{cases} (x^2+y^2)\sin \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} & x^2+y^2\ne 0\\ 0 & x^2+y^2=0 \end{cases}\\ (x_0,y_0)=(0,0)$

• 隐函数定理的逆定理不成立其一：存在这样的二元函数 $F(x,y)$ 及其定义域内的一点 $(x_0,y_0)$，还有一个一元函数 $\varphi(x)$，满足以下条件：

  1. $F(x_0,y_0)=0$；
  2. 且在这一点附近存在隐函数 $y=\varphi(x)$；
  3. 但是在这一点不可微。

  $F(x,y)=|y-\operatorname{e}^x|\\ \varphi(x)=\operatorname{e}^x\\ (x_0,y_0)\in \{(x,y)\mid y=\operatorname{e}^x \}$

• 隐函数定理的逆定理不成立其二：存在这样的二元函数 $F(x,y)$ 及其定义域内的一点 $(x_0,y_0)$，还有一个一元函数 $\varphi(x)$，满足以下条件：

  1. $F(x_0,y_0)=0$；
  2. 且在这一点附近存在隐函数 $y=\varphi(x)$；
  3. 但在这一点有各个偏导数均存在且均为零，即 $\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{\partial F}{\partial y}=0$。

  $F(x,y)=(x-y)^2\\ \varphi(x)=x\\ (x_0,y_0)=(0,0)$

• $[0,1]$ 到 $[0,1]^2$ 之间「存在」连续双射的伪证：一个映射 $f:[0,1]\mapsto [0,1]^2$，满足如下条件：

  1. $f(0)=(0,0)$；
  2. $f(1)=(1,1)$；
  3. $\forall 0<x<1$，设 $x$ 在十进制下的表示为 $x=0.\overline{a_1b_1a_2b_2\ldots}$，则 $f(x)=(0.\overline{a_1a_2\ldots},0.\overline{b_1b_2\ldots})$。

  由如上表示易知 $f$ 为双射，但是存在 $[0,1]$ 中的一个收敛数列 $\{c_n\}$，满足如下条件：

  1. $f\left(\lim\limits_{n\to\infty} c_n\right)\ne \lim\limits_{n\to \infty}f(c_n)$，即 $f$ 在 $x=\lim\limits_{n\to\infty}c_n$ 这一点不连续。

  $c_n=0.1-10^{-n}\\ f\left(\lim\limits_{n\to\infty} c_n\right)=(0.1,0)\\ \lim\limits_{n\to \infty}f(c_n)=(0.1,0.1)$

• 存在这样的点集 $D\subset \mathbb R^2$，满足以下条件：

  1. 它是有界的，即存在实数 $a,b,c,d$，满足 $a\le b,c\le d$，使得 $D\subset [a,b]\times [c,d]$；
  2. 但是它 Jordan 不可测。

  $D=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb R\backslash \mathbb Q\}$

• 存在这样的函数 $f(x),g(x)$，满足如下条件：

  1. $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 的任意有限区间上黎曼可积；
  2. 且反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x)\mathrm d x$ 绝对收敛；
  3. 并且有 $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$。
  4. 但是 $\lim\limits_{x\to +\infty}\int_0^x f(t)g(x-t)\mathrm d x\ne 0$。

  $f(x)=\dfrac 1{x^2+1} \\ g(x)=\dfrac 1x$

  实际上如果加上 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 有界这一条件即可将 $4$ 中的不等号改为等号。

• 存在这样的函数 $f(x)$，满足如下条件：

  1. $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上连续；
  2. 且存在一个 $h>0$，使得对于任何的 $x\in \mathbb R$ 都有：

     $\int_{x-h}^{x+h}f(u)\mathrm d u=2hf(x)$

  3. 但是 $f(x)$ 并不是正比例函数。

  $f(x)=\text{e}^{ax}\cos(bx)$

  其中 $a+b\text{i}$ 是方程 $\sinh(z)=z$ 的一个非零复数解。

  这个解一定存在：

  

  为什么这个是反例：取 $h=1$，并令 $z=a+b\text i$ 得：

  $\int_{x-1}^{x+1}f(u)\mathrm d u=\dfrac 1z\left(\text{e}^{(x+1)z}-\text{e}^{(x-1)z}\right) \\ =\dfrac{\text e^{xz}}z(\text{e}^z-\text e^{-z})=\dfrac {2\text e^{xz}}z\sinh(z)=2\text e^{xz}=2f(x)$