欧氏平面中任意三点不共线的稠密子集

非常有趣的一道概率方法题，记录一下。

Question: 在欧氏平面 $\mathbb{R}^2$ 中是否存在一个稠密子集 $S$，满足 $S$ 中任意不同三点不共线。

这里稠密的定义是 $\forall \varepsilon > 0, \bigcup_{v \in S} B(v, \varepsilon) = \mathbb{R}^2$。

Answer: Yes.

Proof. 取 $\phi : \mathcal{B}(\mathbb{R}^2) \to [0, 1]$ 为 $\mathbb{R}^2$ 上的高斯测度。

接着按照高斯测度在平面上独立的撒可数个点 $S = \{x_1, x_2, \ldots\}$。

首先存在三点共线的概率为 $0$，因为任意线的高斯测度都是 $0$，而可数个三点选择并在一起还是概率 $0$ 的。

另外这些点不构成 $\mathbb{R}^2$ 的稠密子集的概率也是 $0$。我们考虑所有端点横纵坐标都是有理数的可数个矩形，$S$ 稠密当且仅当在这些矩形中都有点。而每个这样的矩形的测度都是正的，小概率事件重复无穷多次一定发生，所以每个矩形最后都以概率 $1$ 存在在 $S$ 里的点。最后可数个事件并一起表明以概率 $1$ 每个矩形里都有 $S$ 的点，也即 $S$ 稠密。

这下我们由概率方法就得到了存在性，而这种存在性甚至是以概率 $1$ 存在的。$\Box$

Remark: 上面证明中的高斯测度可以换成任意和 $\mathbb{R}^2$ 上互相绝对连续的测度。